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Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel non nul.
a) Montrer que $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(n;2n+5) = PGCD(n;5)}$.
b) Déterminer $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(n;2n+5)}$ lorsque $\textcolor{#caa7ff}{n}$ est un multiple de 5.
a) On réalise la premiere ligne de l'algorithme d'Euclide :
$$\textcolor{#caa7ff}{
2n + 5 = 2 \times n + 5
\newline
n = k \times 5 + r
}$$
La deuxième ligne correspond alors à $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(n;5)}$
En règle générale :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall (a;b) \in \mathbb{Z}^2, a \neq 0
\quad PGCD(a;b) = PGCD(a;r)
\quad \text{avec } r \equiv b \pmod{a}
}$$
Donc ici :
$$\textcolor{#caa7ff}{
r \equiv b \equiv 5 \pmod{n}
\newline \iff
\boxed{PGCD(n;2n+5) = PGCD(n;5)}
}$$
b) Si $\textcolor{#caa7ff}{n}$ est un multiple de 5 :
$\textcolor{#caa7ff}{5 \in D(n)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{5}$ est le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(5)}$, $\textcolor{#caa7ff}{5}$ est alors le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(5) \cup D(n)}$. Cela correspond a la définition du $\textcolor{#caa7ff}{PGCD}$.
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(n;5) = 5
\text{ donc }
\boxed{PGCD(n;2n + 5) = 5}
}$$